行列式

国内的教材喜欢在一开始讲行列式 (Determinant)，虽然笔者认为这其实和线代没什么关系，直接跳到矩阵开始学也行。

所谓行列式，其实就是一种运算，与 \(+\)、\(-\)、\(\times\)、\(\div\) 是一个东西，符号表示为 \(\vert \mathbf A\vert\)。其中 \(\mathbf A\) 为 \(n\times n\) 的数表，最终的运算结果是一个实数，即 \(\vert \mathbf A\vert\) 其实是一个实数。

基本概念¶

排列¶

若一个序列含有 \(n\) 个数并且序列中每一个位置只出现 \([1,n]\) 一次，则称该序列为全排列，简称排列；\([1,n]\) 的升序排列称为标准排列。

逆序数¶

即一个排列中每一个元素之前比其大的元素数量之和。可以用下面的代码来表示：

cnt = 0
for i in range(n):
    for j in range(i):
        cnt += a[j] > a[i]
print(cnt)

对换¶

即交换排列中的两个元素。有以下两个结论：

一个排列中两个元素对换，排列逆序数的奇偶性改变；
奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。

行列式的定义与性质¶

行列式的定义¶

以 \(n\) 阶行列式为例，其值为 \(n!\) 个项之和。每一项的数值与符号定义为：

数值：每行选一个元素，每列选一个元素，行列各不相同；
符号：记 \(t(p_1p_2\cdots p_n)\) 为排列 \(p_1p_2\cdots p_n\) 的逆序数，那么符号为 \((-1)^{t(\text{行号})+N(\text{列号})}\)。

行列式的性质¶

行列式的性质可以用来简化求值，下面简单介绍一下 5 个常见的行列式性质及其推论（都可以用定义证出来，此处省略）：

行列式与其转置行列式相等；
对换行列式的两个行或者列，行列式的符号改变；
- 推论：若行列式有两行或两列完全相同，则行列式的值为 \(0\)。
若行列式的某一行/列 \(\times k\)，则行列式的值也 \(\times k\)；
- 推论一：行列式的某一行/列中的公因子可以提到行列式之外；
- 推论二：若行列式有两行/列成比例，则行列式的值为零。
若行列式的某一行/列都是两数之和，则可以拆分成两个行列式之和；
把行列式的某一行/列乘一个常数累加到另一行/列上，行列式的值不变。

合理利用上述五个性质对行列式进行变换，就可以快速求解一个行列式。一般地，我们都会尽可能保证变换后的行列式左上角是数字 \(1\)，从而配凑出「上三角行列式」，进而直接用主对角线之积求解。

行列式的按行/列展开¶

这里简单介绍一下行列式求值的另一个策略：按行/列展开。我们用 \(\mathbf{D}\) 表示行列式。用 \(\mathbf{M}_{ij}\) 表示余子式，即行列式去掉 \(\mathbf{D}_{ij}\) 元素所在的行和列后剩余元素拼接起来的行列式。用 \(\mathbf{A}_{ij}\) 表示代数余子式，其中 \(\mathbf{A}_{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf{M}_{ij}\)。

若行列式的某一行/列只有一个元素不为零¶

则有：

\[ \mathbf{D}= a_{ij}\mathbf{A}_{ij} \]

证明：将某行/列唯一不为零的元素 \(a_{ij}\) 经过 \(i+j-2\) 次对换后整到 \(a_{11}\) 的位置后，剩余的 \(\mathbf{M}_{ij}\) 变换为下三角即可，即：

\[ \mathbf{D} =(-1)^{i+j-2}a_{ij}\mathbf{M}_{ij}=(-1)^{i+j}a_{ij}\mathbf{M}_{ij}= a_{ij}\mathbf{A}_{ij} \]

若行列式的某一行/列有多个元素不为零¶

则有：

\[ D =\sum_{i = 1}^n a_{xi}A_{xi} \]

证明：将展开的那一行/列通过加法原理进行拆分，然后利用上述只有一个元素不为零时的一般情况进行证明即可。

补充一个性质及其例题¶

已知 \(n\) 阶行列式 \(\mathbf{D}\)，按第 \(x\) 行展开后有 \(\mathbf{D}=\sum_{i=1}^n a_{xi}\mathbf{A}_{xi}\)，现在将 \(a_{xi}\) 替换为 \(a_{yi}\) 且 \(x\ne y\)，则 \(\sum_{i=1}^n a_{yi}\mathbf{A}_{xi}=0\)。道理很简单，现在求解的值其实也是一个行列式，并且这个行列式有两行/列的元素完全相等，那么显然的行列式的值就是 \(0\)。

例如下面这道题：