大学物理下

第九章振动¶

9.1 简谐振动振幅周期和频率相位¶

9.1.1 简谐振动¶

定义：加速度与位移成正比且方向相反，的运动叫做简谐振动

恢复力 \(F\)：

\[ F =-kx \]

加速度 \(a\)：

\[ a =\frac{F}{m}=-\frac{k}{m}x \]

将 \(\frac{k}{m}\) 代换为 \(\omega^2\)，得到 \(a\) :

\[ a = \frac{d^2x}{dt^2} =-\omega^2x \]

解得 \(x\) 为：

\[ x = A\cos{(\omega t+\phi)} \]

对 \(x\) 求导得 \(v\) 为：

\[ v =-\omega A\sin{(\omega t+\phi)} \]

对 \(v\) 求导得 \(a\) 为：

\[ a =-\omega^2A\cos{(\omega t+\phi)} \]

9.1.2 振幅¶

即上述的 \(A\)

9.1.3 周期和频率¶

周期的定义：经历一次完全相同的振动经历的时间

正余弦振动周期为：

\[ T =\frac{2\pi}{\omega} \]

由于弹簧振子的 \(\omega\) 为

\[ \omega =\sqrt{\frac{k}{m}} \]

故弹簧振子的周期为

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

频率的定义：单位时间内完全振动的次数（周期的倒数），为

\[ \nu =\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} \]

从而推导出角频率（圆频率）\(\omega\) 为

\[ \omega = 2\pi\nu \]

9.1.4 相位¶

三角函数括号中的量

9.1.5 常量 \(A\) 和 \(\phi\) 的确定¶

结合 \(x,v,a\) 的方程组

\[ \begin{cases} x = A\cos{(\omega t+\phi)} \\ v =-\omega A\sin{(\omega t+\phi)} \\ a =-\omega^2A\cos{(\omega t+\phi)} \end{cases} \]

与初值

\[ \begin{cases} t = 0 \\ x = x_0 \\ v = v_0 \end{cases} \]

可解得 \(A,\phi\)

\[ \begin{cases} A =\sqrt{x_{0}^2+\frac{v_{0}^2}{\omega^2}} \\ \tan \phi = \frac{-v_0}{\omega x_0} \end{cases} \]

9.2 旋转矢量¶

类似于单位圆，将一个单位向量旋转得到一个矢量

9.3 单摆和复摆¶

三类振动公式推导

	力（力矩）	加速度（角加速度）	加速度（角加速度）	角频率
弹簧振子	\(F=-kx\)	\(a=\frac{F}{m}=-\frac{k}{m}x\)	\(\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=a=-\frac{k}{m}x=-\omega^2x\)	\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\)
单摆	\(M=-Fr\sin{\theta}=-mgl\sin{\theta}=-mgl\theta\)	\(\alpha=\frac{M}{J}=\frac{-mgl\theta}{ml^2}=-\frac{g}{l}\theta\)	\(\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=\alpha=-\frac{g}{l}\theta=-\omega^2x\)	\(\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}\)
复摆	\(M=-Fr\sin{\theta}=-mgl\sin{\theta}=-mgl\theta\)	\(\alpha=\frac{M}{J}=\frac{-mgl}{J}\theta\)	\(\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=\alpha=-\frac{mgl}{J}\theta=-\omega^2x\)	\(\omega=\sqrt{\frac{mgl}{J}}\)

简谐振动变量表述

振幅	频率	角频率	周期	初相
\(A\)	\(\nu\)	\(\omega\)	\(T\)	\(\phi\)

9.3.1 单摆¶

\[ \omega =\sqrt{\frac{g}{l}}, \ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \]

9.3.2 复摆¶

\[ \omega =\sqrt{\frac{mgl}{J}}, T = 2\pi\sqrt{\frac{J}{mgl}} \]

9.4 简谐振动的能量¶

系统动能

\[ E_k =\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2{(\omega t+\phi)} \]
系统势能

\[ E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2\cos^2{(\omega t+\phi)} \]
系统总能量

\[ E = E_k+E_p =\frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2{(\omega t+\phi)} + \frac{1}{2}kA^2\cos^2{(\omega t+\phi)} \]

因为

\[ \omega^2 =\frac{k}{m} \]

所以

\[ E =\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2 \]

9.5 简谐振动的合成¶

9.5.1 两个同方向同频率¶

根据「旋转矢量法」合成一个最终的矢量，根据三角函数可以计算出一般情况下的 \(\tan{\phi}\)，但是一般只考虑相位差为 \(2k\pi\) 和 \((2k+1)\pi\) 的情况，最终得到 合振幅 \(Combine\) 的取值范围为：

\[ \left | A_1-A_2 \right | \le Combine \le A_1+A_2 \]

9.5.2 两个垂直方向同频率¶

联立两个简谐运动方程，消去变量 t

9.5.3 两个同方向不同频率合成、拍¶

只讨论：两个频率值很大，但是差值很小的情况
拍的定义：由频率很大但频率之差很小的两个同方向简谐振动合成时，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象就叫做拍
对于被合成的两个频率和一个最终合成的频率，可以通过旋转矢量法进行计算
拍的周期 \(T\) :

\[ T =\frac{2\pi}{\omega_2 - \omega_1}=\frac{1}{\frac{\omega_2}{2\pi}-\frac{\omega_1}{2\pi}}=\frac{1}{\nu_2-\nu_1} \]
拍频就是 \(\frac{1}{T} = \nu_2-\nu_1\)

【选学】9.7 电磁振荡¶

9.7.1 振荡电路无阻尼自由电磁振荡¶

所谓振荡电路，就是电能（贮存在电容器）中的能量与磁场能（贮存在自感线圈）中的能量相互转化的电路，

而所谓的无阻尼自由电磁振荡，就是上述过程中，没有能量损失的电路。

9.7.2 无阻尼电磁振荡的方程¶

某一时刻电路中的电荷量 \(q\) :

\[ q = Q_0 \cos {(\omega t + \phi)} \]

某一时刻电路中的电流 \(i = \frac{dq}{dt}\) :

\[ i = -\omega Q_0 \sin{(\omega t + \phi)} \]

电路中的振荡角频率 \(\omega\) :

\[ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]

9.7.3 无阻尼电磁振荡的能量¶

电场能量 \(W_e\) :

\[ W_e = \frac{q^2}{2C} = \frac{Q_0^2}{2C} \cos^2{(\omega t + \phi)} \]

磁场能量 \(W_m\) :

\[ W_m = \frac{1}{2}Li^2 = \frac{1}{2}L\omega ^2 Q_0^2 \sin^2{(\omega t + \phi)} = \frac{Q_0^2}{2C} \sin^2{(\omega t + \phi)} \]

LC 振荡电路总能量 \(W\) :

\[ W = W_e + W_m = \frac{Q_0^2}{2C} \]

第十章波动¶

10.1 机械波的几个概念¶

10.1.1 机械波的形成¶

机械振动在弹性介质（固体、液体、气体）中传播就形成了机械波

10.1.2 横波与纵波¶

横波：波的传播方向与振动方向垂直的波

纵波：波的传播方向与振动方向平行的波

横波可以在固体中传播

纵波可以在 固体、液体、气体 中传播

10.1.3 波长波的周期和频率波速¶

波长：一个周期传播的距离

周期：波前进一个波长需要的时间

频率：单位时间内传播的完整波的个数，只取决于波源

波速：单位时间波传播的距离，只取决于介质

横、纵波在三种介质中的传播速度

	固体	液体	气体
横波	\(\sqrt{\frac{G}{\rho}}\)	--	--
纵波	\(\sqrt{\frac{E}{\rho}}\)	\(\sqrt{\frac{K}{\rho}}\)	\(\sqrt{\frac{K}{\rho}}\)

符号说明

符号	名称
\(G\)	切变模量
\(E\)	弹性模量
\(K\)	体积模量
\(\rho\)	介质密度

10.2 平面简谐波的波函数¶

10.2.1 平面简谐波的波函数¶

\[ \text{波函数} = \text{波动方程} \]

假设一个波沿着 x 轴正方向传播，

距离原点 O 距离为 \(x_0\) 的点的振动方程为：

\[ y_Q = A\cos{(\omega t+ \phi)} \]

则距原点 O 距离为 \(x\) 的点的波函数（波动方程）为：

\[ y = A\cos{ \left [\omega(t - \frac{x-x_0}{u})+\phi \right ]} \]

10.2.2 波函数的物理含义¶

位移分布：对于一个位置 x，y 随 t 变化

振动规律：对于一个时刻 t，y 随 x 变化

相位的差：\(\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta x\)

做题技巧¶

针对求解波动方程与振动（运动）方程展开。

对于波动方程 \(y=y(x,t)\)，假如给了一点 A 的振动方程 \(y=y(t)=A \cos (\omega t + \phi)\)，我们需要求 B，C 两个点的振动方程，其中 B 点在 A 点传播方向的正方向距 A 点为 b，C 点在 A 点传播方向的负方向距 A 点为 c，波速为 u，则

对于 B 点：在 B 点开始振动的时候 A 点已经开始振动了，因此当 \(t=0\) 时，B 点对应的时刻应该 \(<0\)，则 \(B\) 点的波动方程为：

\[ y_b = A \cos \left [ \omega(t - \frac{b}{u}) \right] \]
对于 C 点：在 C 点开始振动的时候 A 点还未开始振动，因此当 \(t=0\) 时，C 点对应的时刻应该 \(>0\)，则 \(C\) 点的波动方程为：

\[ y_c = A \cos \left [ \omega(t + \frac{c}{u}) \right] \]

如果需要求解某点的波动方程，则在求解出该点振动方程 \(y=A \cos (\omega t + \phi)\) 后，将 \(\omega t\) 扩展为 \(\omega\left(t\mp\frac{x}{u}\right)\) 即可。加还是取决于波的传播方向，遵循左加右减的原则

10.3 波的能量能流密度¶

10.3.1 波动能量的传播¶

在振动的过程中，介质除了具有动能，还有因为发生形变而具有的势能

经过推导，体积元的 动能 = 势能，于是

体积元的总能量 \(dW\) 就为：

\[ dW = (\rho d V)A^2 \omega ^2 \sin ^2 \omega \left (t - \frac{x}{u} \right ) \]

能量密度 \(w\) 就为：

\[ w = \frac{dW}{dV} = \rho A^2 \omega ^2 \sin ^2 \omega \left (t - \frac{x}{u} \right ) \]

平均能量密度 \(\overline w\) 取一个周期就为：

\[ \overline w = \frac{1}{2} \rho A^2 \omega ^2 \]

10.3.2 能流和能流密度¶

能流：单位时间内垂直经过某一面积的能量

能流 \(P\) 就为：

\[ P = wuS \]

平均能流 \(\overline P\) 取一个周期就为：

\[ \overline P = \overline w uS \]

能流密度 \(I\)（垂直通过单位面积的平均能流，也称波的强度）就为：

\[ I =\frac{\overline P}{S} = \overline w u = \frac{1}{2} \rho A^2 \omega ^2u \]

10.4 惠更斯原理波的衍射和干涉¶

10.4.1 惠更斯原理¶

波源的振动是通过介质中的质元依次传播出去的，因此每一个质元都可以看做一个新的波源

10.4.2 波的衍射¶

定义：波的衍射就是波绕过障碍物的边缘，在障碍物的几何阴影内继续传播的现象

现象：障碍物的宽度和波长差不多，衍射越明显，在此基础之上，宽度越小，衍射越明显

10.4.3 波的干涉¶

波的叠加原理：（只适合小振幅波动的线性叠加）
- 相遇后，保持各自的特征继续传播
- 相遇处的质点的位移为矢量和
波的干涉：
- 定义：相干波（频率相同，振动方向平行，相位差恒定）相遇时，某些地方始终加强 or 减弱的现象
- 对于 相位差恒定（不为零） 的两列波：
  - 加强点：相位差为 \(\pi\) 的偶数倍
  - 减弱点：相位差为 \(\pi\) 的奇数倍
- 对于 相位差恒定（为零） 的两列波，简化为波程差的比较：
  1. 加强点：波程差为半波长的偶数倍
  2. 减弱点：波程差为半波长的奇数倍

10.5 驻波¶

10.5.1 驻波的产生¶

由两列振幅、频率、和波速相同的相干波，同向相遇时，特殊的干涉现象

10.5.2 驻波方程¶

对于上述的两列波的波动方程：

\[ y_1 = A \cos 2\pi \left ( {\nu t - \frac{x}{\lambda}} \right ) \]

\[ y_2 = A \cos 2\pi \left ( {\nu t + \frac{x}{\lambda}} \right ) \]

合成的驻波方程为（余弦展开，有时需要配凑）：

\[ y(t) = y_1 + y_2 = (2A \cos {2 \pi \frac{x}{\lambda}}) \cos 2 \pi \nu t \]

波节：始终静止不动的点
- 位置：上述波动方程振幅为零的点，算出来为 \(\frac 1 4\) 波长的奇数倍
- 波节间距：半波长
波腹：振幅为 \(2A\) 的点
- 位置：上述波动方程振幅为 \(2A\) 的点，算出来为 \(\frac 1 4\) 波长的偶数倍
- 波腹间距：半波长

10.5.3 相位跃变¶

波密反射回波疏时会导致相位变化 \(\pi\) 的现象称为相位越变 \(\pi\) ，也叫半波跃变

10.5.4 驻波的能量¶

驻波中能量始终在波节和波腹之间循环传播，因此驻波不传播能量

简述一下能量在驻波中的传播形式：

首先要意识到波节处的振幅始终为 0

当波腹处的振幅最大时，能量全部集中在波节处的势能中
当波腹处的振幅最小时，能量全部集中在波腹处的动能中

10.5.5 振动的简正模式¶

对于两端固定的弦线来说，为了形成驻波，弦长 \(l\) 应该为半波长的整数倍。而这些波的频率的集合称为弦振动的 本征频率，最低频率称为基频，其余基频的整数倍 n 称为 n 次谐频

某个端口封闭的时候。形成的驻波在端口就是波节，因为空气相对于端口处的介质是波疏对波密介质

【选学】10.6 多普勒效应¶

简化为两句话

无论是波源靠近接收器还是接收器靠近波源还是两者相对运动，归根结底是波在单位时间传播的距离发生了变化，我们只需要考虑单位时间内波的传播情况即可，最终得出的规律是

\[ \nu' = \frac{u \pm v_0}{u \mp v_s} \nu \]

式中，\(\nu'\) 为最终观察者接收到的波频，\(\nu\) 为波源的波频，\(u\) 为波速，\(v_0\) 为观察者靠近（远离）波源的速度，\(v_s\) 为波源靠近（远离）观察者的速度，至于何时取正何时取负，脑子一转就知道了~
当波源和观察者的相对运动不在同一条直线上时，将速度分解到同一条直线进行上述计算即可

第十一章光学¶

11.1 相干光¶

定义：频率相同、振动方向相同、相位差恒定

11.2 杨氏双缝干涉劳埃德镜¶

11.2.1 杨氏双缝干涉¶

就一个公式

\[ \Delta x = \frac{l}{d}\lambda \]

式中，\(\Delta x\) 为相邻两个明条纹之间的距离，\(l\) 为相干光源距光频之间的距离，\(d\) 为相干光源之间的距离，\(\lambda\) 为光波长

中央明纹两侧的明条纹分别为第一级，第二级，...，第 k 级明条纹

11.2.3 光程和光程差¶

速度：

\[ \frac{u}{v} = \frac{1}{n} \]

式中：\(u\) 为光在介质中的传播速度，\(v\) 为光在真空中传播的速度，\(n\) 为折射率
路程：

\[ L' = nL \]

式中：\(L'\) 为光程，\(n\) 为折射率，\(L\) 为光在介质中传播的路程
光程差
- 光程差为半波长的偶数倍时，干涉加强
- 光程差为半波长的奇数倍时，干涉减弱

【选学】11.2.5 劳埃德镜¶

利用镜面反射，使得一个点光源与其虚光源构成了一对相干光

需要注意的是：与机械波的半波损失类似，光波也有半波损失，需要考虑反射处的半波损失

11.3 薄膜干涉¶

11.3.1 薄膜干涉的光程差¶

考虑：

光程：光在折射率为 \(n\) 的介质中传播的光程为 \(nL\)
相位跃变：考虑反射时可能产生的半波反射

补充：

使用透镜并不引起附加的光程差
应用在 增透膜 和 增反膜 上

11.4 劈尖牛顿环迈克尔孙干涉仪¶

判断干涉的关键在于计算光程差，下面两个例子从线性与非线性两个角度进行了计算光程差的演示

11.4.1 劈尖¶

干涉增强点：

\[ 2nd+\frac{\lambda}{2} = 2k\lambda(k = 1,2,3,...) \]

干涉减弱点：

\[ 2nd+\frac{\lambda}{2} = (2k+1)\lambda(k = 0,1,2,...) \]

其中，\(n\) 为劈尖中空气的折射率，\(nd\) 为光程。由于劈尖玻璃的折射率 > 劈尖中空气的折射率，因此会有一个相位跃变

11.4.2 牛顿环¶

根据勾股定理计算光程差 \(\Delta=2nd+\frac{\lambda}{2}\)

又 \(r^2=R^2-(R-d)^2=2Rd-d^2\)，由于 \(R \gg d\)，故可以近似为 \(2Rd\)

故 \(r=\sqrt{2Rd}=\sqrt{(\Delta-\frac{\lambda}{2})\frac{R}{n}}\)

当 \(\Delta\) 为半波长的奇数倍时，为暗条纹，此时的 r 为明环半径

当 \(\Delta\) 为半波长的偶数倍时，为明条纹，此时的 r 为暗环半径

【选学】11.4.3 迈克尔孙干涉仪¶

11.5 光的衍射¶

11.5.1 光的衍射现象¶

11.5.2 惠更斯-菲涅耳原理¶

在一个波阵面上，某一点处的波振幅是各个子波相互叠加的结果

11.5.3 菲尼尔衍射和夫琅禾费衍射¶

11.6 夫琅禾费单缝衍射¶

单色光

复色光（白光）

分析

波带法：

判断一束光中，某一方向的光经过透镜汇聚后呈现在光屏上的是暗条纹还是亮条纹。判断方法就是计算光透过透光孔的总光程差 \(b\sin\theta\) 能被完整的划分为几个半波长。
- 若可以完整的划分为偶数个，则两两干涉抵消，最终中心为暗纹
- 若可以完整的划分为奇数个，则两两抵消之后还剩一个，最终中心为明纹
\[ b\sin \theta = \begin{cases} 0,& \text{中央亮纹} \\ \pm 2k \frac{\lambda}{2}= \pm k\lambda, (k = 1,2,\cdots) & \text{暗纹}\\ \pm (2k+1) \frac{\lambda}{2}, (k = 1,2,\cdots) & \text{亮纹}\\ \text{其余情况}, & \text{调和亮度} \end{cases} \]
计算光屏上中央亮纹的宽度 \(d\) ：
1. 已知第一级暗纹的位置就是中央亮纹边界，于是此时 \(b\sin \theta=\lambda\)，那么 \(\sin \theta=\frac{\lambda}{b}\)
2. 于是 \(x=f\tan \theta \approx f\sin\theta=\frac{\lambda f}{b}\)
3. 于是中央亮纹的宽度 \(d=2x=\frac{2\lambda f}{b}\)
求解相邻亮纹（暗纹）之间的距离：

同上，只是不用乘 2，那么按照上面的计算方法，相邻两个之间的距离就是 \(\frac{\lambda f}{b}\)

11.7 夫琅禾费圆孔衍射光学仪器的分辨本领¶

艾里斑满足的关系：

\[ 2\theta =\frac{d}{f} = 2.44\frac{\lambda}{D} \]

其中：透镜光心张角 \(2\theta\)，艾里斑直径 \(d\)，透镜焦距 \(f\)，光波波长 \(\lambda\)，圆孔直径 \(D\)
最小分辨角 \(\theta_0\) ：

\[ \theta_0 = 1.22 \frac{\lambda}{D} \]
分辨本领：

\[ \frac{1}{\theta_0} \]
瑞利判据：

定义两个光源之间的夹角为 \(\gamma\)。若 \(\gamma\ge\theta_0\) 就可以分辨，反之无法分辨
瑞利判据示例：

左 1 能分辨（\(\gamma> \theta_0\)），左 2 恰好能分辨（\(\gamma=\theta_0\)），左 3 无法分辨（\(\gamma<\theta_0\)）

11.8 衍射光栅¶

11.8.1 光栅¶

为了更精准的测量光波，需要产生亮纹：又窄又亮又稀疏，于是光栅就产生了

11.8.2 光栅衍射条纹的形成¶

明纹产生的位置公式

\[ (b+b')\sin \theta = \pm k \lambda, k = 0,1,2,... \]

其中：\((b+b')\sin \theta\) 为光栅上相邻两束光的光程差。

可以证明：光栅中狭缝条数越多，明纹就越亮越窄。

11.8.3 衍射光谱¶

白光通过光栅后，中间产生中央明纹，边上的明纹会由于白光中的单色光波长不同而使得明纹产生了不同颜色的带状，由于波长越短衍射角越小，故对于一个波带，靠内侧的是紫光，靠外侧的是红光。

11.9 光的偏振性马吕斯定理¶

11.9.1 自然光偏振光¶

自然光经过偏振片后的光强减弱为原来的一半，即 \(I_1=\frac{1}{2}I_0\) 。因为可以将自然光各个方向的振动分解到两个互相垂直的方向上，于是两个互相垂直的方向上的光强就均分了总光强了

11.9.2 偏振片起偏与检偏¶

起偏器和检偏器方向相同，则光线完全穿过
起偏器和检偏器方向垂直，则光线无法穿过
起偏器和检偏器方向介于上述两者之间，则部分穿过

11.9.3 马吕斯定律¶

定义：就是定量计算上述第三种情况的穿过的光强

推导：由于穿过之后的光的振幅分量 \(E\) 变成了 \(E=E_0\cos \alpha\)，且 \(\frac{I}{I_0}=\frac{E^2}{E_0^2}\)，则（其中 \(\alpha\) 为起偏器与检偏器的夹角）

\[ I = I_0\cos \alpha ^2 \]

11.10 反射光和折射光的偏振¶

已知入射光线为自然光，入射角为 \(\theta\)，入射区域的折射率为 \(n_1\)，折射区域的折射率为 \(n_2\)。当上述入射角满足下式时：

\[ \tan \theta = \frac{n_2}{n_1} \]

反射光线为完全偏振光
反射光线与折射光线垂直

此时的入射角 \(\theta\) 称为 布儒斯特角

第十二章气体动理论¶

12.1 平衡态理想气体物态方程热力学第零定律¶

理想气体物态方程：

\[ \begin{aligned} pV&= NkT\\ pV&=\nu RT\\ p&= nkT \end{aligned} \]

其中 \(p\) 为气压，\(V\) 为全部气体所占的体积

\(N\) 为全部体积下的气体分子数，\(\nu\) 为气体的物质的量

\(k\)、\(R\) 均为常数

\(n\) 为单位体积内的分子数，\(T\) 为当前温度
热力学第零定律：首先定义热平衡，即如果两个系统之间没有能量传递，则两系统达到了热平衡。那么热力学第零定律就是 A 与 B 达到了热平衡，B 与 C 达到了热平衡，则 A 与 C 也就处于热平衡状态

【选学】12.2 物质的微观模型统计规律性¶

12.3 理想气体的压强公式¶

\[ \begin{aligned} p&=\frac{1}{3} nm \overline{v^2}\\ p&=\frac{2}{3}n\overline{\varepsilon_k} \\ p&=\frac{1}{3}\rho\overline{v^2} \end{aligned} \]

其中 \(\overline{\varepsilon_k}\) 为气体分子的平均平动动能，\(\rho\) 为气体密度，\(m\) 为单个气体分子的质量

12.4 理想气体分子的平均平动动能与温度的关系¶

理想气体分子的平均平动动能 \(\overline{\varepsilon}_k\) 与温度 \(T\) 的关系：

\[ \begin{cases} p = nkT \\ p =\frac{1}{3} nm \overline{v^2} \end{cases} \Longrightarrow \overline{\varepsilon}_k = \frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT \]
方均根速率 \(v_{rms}\)：

\[ \frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT \Longrightarrow v_{rms}=\sqrt{\frac{3kT}{m}} \]

\[ \begin{cases} pV = NkT \\ pV =\nu RT \end{cases} \Longrightarrow v_{rms}=\sqrt{\frac{3RT}{M}} \]

其中 \(k\)、\(R\) 均为常数，\(M\) 为气体的摩尔质量

12.5 能量均分定理理想气体的内能¶

12.5.1 自由度¶

定义：分子能量中速度和坐标的二次方项数

单原子分子自由度：3（三项平动动能）
刚性双原子分子：5（三项平动动能+两项转动动能）
非刚性双原子分子：7（三项平动动能+两项转动动能+两项振动能量）

12.5.2 能量均分定理¶

\[ \overline{\varepsilon}=(t+r+v)\frac{1}{2}kT =\frac{i}{2}kT \]

其中 \(\overline{\varepsilon}\) 为分子的平均能量，\(i\) 为分子的自由度，\(t,r,v\) 分别为平动、转动和振动中速度和坐标的二次方项数

12.5.3 理想气体的内能¶

\[ E =\nu N_A \frac{i}{2}kT \]

其中 \(E\) 为 \(\nu\ \text{mol}\) 气体分子所含有的平均能量（内能），\(i\) 为该气体的自由度。又

\[ \begin{aligned} pV = NkT\\ pV =\nu RT \end{aligned} \]

可得

\[ N_Ak = R \]

于是

\[ E =\nu\frac{i}{2}RT \]

【选学】12.6 麦克斯韦气体分子速率分布律¶

数学形式：

\[ f(v)= 4\pi \left( \frac{m}{2\pi kT} \right)^{\frac{3}{2}} e^{\frac{-\varepsilon_k}{kT}}v^2 \]

三种统计速率：

最概然速率 \(v_p\)

\[ v_p =\sqrt{\frac{2kT}{m}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}} \]
平均速率 \(\overline{v}\)

\[ \overline{v}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} \]
方均根速率 \(v_{rms}\)

\[ v_{rms}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}} \]

大小关系：

第十三章热力学基础¶

13.1 准静态过程功热量¶

准静态过程：变化过程看做平衡过程
功：系统做功是一个过程量

13.2 热力学第一定律内能¶

热力学第一定律（能量守恒）：系统从外界吸收的热量，一部分用来对外界做功，一部分用来增加系统的内能
内能：系统的内能只与系统的初末状态有关，而与过程无关

13.3 理想气体的等容过程和等压过程摩尔热容¶

13.3.1 等容过程摩尔定容热容¶

定义：系统吸收（放出）的热量全部用来增加（减少）系统的内能

计算 \(\nu\ \text{mol气体}\) 内能变化的公式利用 \(\text{摩尔定容热容} C_{V,m}\) 就很显然了

\[ \Delta Q =\nu C_{V, m} \Delta T =\Delta E \]

13.3.2 等压过程摩尔定压热容¶

定义：系统吸收（放出）的热量一部分用来增加（减少）系统的内能，一部分用来对外做功（外界对系统做功）

计算 \(\nu\ \text{mol气体}\) 内能变化的公式利用 \(\text{摩尔定压热容} C_{V,m}\) 就很显然了

\[ \Delta Q =\nu C_{p, m} \Delta T =\Delta E+\Delta W \]

* 摩尔定容热容与摩尔定压热容的关系¶

结合上面两式与 \(1mol\) 的理想气体满足的式子 \(pV=RT\)，可得

\[ C_{p, m}-C_{V, m}= R \]

这也就解释了，对于 1mol 的气体，吸收的热量，一部分用来增加内能，一部分用来对外做功。而这对外做功的热量就是 \(R\Delta T\)

13.3.3 比热容¶

热容：\(C=\frac{dQ}{dT}\)
比热容：\(c=\frac{C}{m}\)，其中 \(m\) 为系统的质量

13.4 理想气体的等温过程和绝热过程¶

13.4.1 等温过程¶

定义：在恒温热源的环境下，系统的温度不变

性质：气体膨胀时，从恒温热源吸收的热量全部用来对外做功；气体压缩时，外界对气体做的功全部以热量的形式传递给恒温热源

13.4.2 绝热过程¶

定义：系统与外界没有热交换

绝热方程：

\[ \begin{aligned} pV^{\gamma} &= const_1 \\ V^{\gamma - 1}T &= const_2 \\ p^{\gamma - 1}T^{-\gamma} &= const_3 \end{aligned} \]

其中

\[ \gamma = \frac{C_{p, m}}{C_{V, m}}(\gamma > 1) \]

13.4.3 绝热线和等温线¶

在 A 点处，绝热线的斜率比等温线的斜率绝对值来的更大，具体看推导

【补充】13.3 与 13.4 小结¶

13.5 循环过程卡诺循环¶

13.5.1 循环过程¶

系统热功持续转换就需要一个循环过程。一个循环过程系统对外界所做的功为 p-V 图像中正循环（顺时针）包围的面积，一个循环结束之后，系统的内能没有改变

13.5.2 热机和制冷机¶

正循环：做正循环的系统一般叫热机，主要代表将热量转化为功的机器。\(\eta\) 为热机效率

\[ \eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1-Q_2}{Q_1} = 1-\frac{Q_2}{Q_1} \]

负循环：做负循环的系统一般叫制冷机，主要代表利用外界做功使热量由低处流向高处，从而获得低温的机器。\(e\) 为制冷系数

\[ e =\frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1-Q_2} \]

13.5.3 卡诺循环¶

理想循环状态

正循环：

\[ \eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1-Q_2}{Q_1} = 1-\frac{Q_2}{Q_1} = 1-\frac{T_2}{T_1} \]

负循环：

\[ e =\frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1-Q_2} = \frac{T_2}{T_1-T_2} \]

13.6 热力学第二定律的表述卡诺定理¶

13.6.1 热力学第二定律的两种表述¶

在理解热力学第二定律之前，先回顾一下热力学第零和第一定律。热力学第零定律：理解为热传递；热力学第一定律：理解为能量守恒定律在热学中的应用。第一类永动机就是建立在热力学第一定律的反面上的，即创造一种热机，不需要从外界吸收热量或者消耗系统内部的内能而不断向外做功的过程。下面引入热力学第二定律的两种表述：

开尔文表述：不存在一种热机，能够从单一热源吸收热量对外做功而不放出热量给其他物体
克劳修斯表述：热量不可能从低温物体自动传到高温物体而不引起外界的变化

综合上述两种表述。我们知道两种表述是等价的，即二者相互满足且一方错误另一方也将错误。其中：

开尔文表述表明：热功的转化是有方向性的
克劳修斯表述表明：热量的传递是有方向性的

第二类永动机，即一种可以将单一热源的热量完全转化为功的而不会发生热量耗散的热机。

13.6.2 可逆过程与不可逆过程¶

定义：逆过程可以完全重复正过程的每一个状态的过程，就叫做可逆过程。

需要满足以下两个条件的才能成为可逆过程：

每一刻都是准静态过程
没有其他耗散力做功

世界上不存在绝对的可逆过程，可逆过程是理想化的模型。

13.6.3 卡诺定理¶

其实卡诺基于热力学第二定律给出了一个世界物理法则，即所有的热循环理想的效率都不会超过卡诺循环。以理想气体的热循环为例，所有的热机进行热循环时，循环效率 \(\eta'\) 都不会超过卡诺热机循环效率 \(\eta\)，即

\[ \eta ' \le \eta = 1-\frac{T_{cool}}{T_{hoot}} \]